Regimen general + autónomo?

Buenos dias,
Actualmente tengo un contrato en régimen general de 25h set. como fijo discontinuo (los meses de agosto i 1/2 septiembre no trabajo) y desde octubre inicié también mi actividad como autónomo.

Hasta ahora, el mes de agosto y 1/2 septiembre cobraba del paro hasta que volvía a empezar el contrato.
Mi pregunta es: este verano, cuando vuelva a finalizar el contrato en régimen general, podré cobrar del paro estando de alta como autónomo? Supongo que la respuesta es que no...

Por otro lado, quiero pedir a la empresa con la que tengo contrato si hay la posibilidad de presentar factura, y de esta manera hacerlo todo como autónomo y amortizar la cuota mensual... Pero me han comentado que esto no es posible...ya que no pueden darme de baja y después continuar mi actividad con la empresa presentando factura...esto es correcto? es un fraude o algo parecido? no entiendo porque...

gracias por vuestra ayuda.