fecha de factura

Buenos días. Aquí os planteo mi situación, a ver si alguien me puede dar una solución.
Soy profesor. El 30 de junio me despidieron y tengo vacaciones retribuidas hasta el 24 de julio. Es decir, a partir del viernes 25 puedo solicitar el paro.
Encontré en Madrid un trabajo en julio, dar clases en un curso intensivo del 30 de junio al 25 de julio. Me obligaron a hacerme autónomo y es lo que hice. Mi intención es estar de autónomo sólo julio. El problema es que si me doy de baja el 25 de julio ya no puedo solicitar el paro. He pedido en la academia que pueda facturar con fecha el 23 de julio, último día que tenía pensado estar como autónomo, pero me dicen que no, que a ellos les obligan a que la factura tenga fecha de 25 de julio. Es más, me dicen en la escuela que ellos me hacen la factura, yo sólo tengo que firmarla.
¿Qué puedo hacer para poder cobrar el paro? ¿Qué pasa si me doy de baja el 23, fecha de factura el 25 y en agosto pido el paro antes de que se me pase?
Gracias mil!