¿Puedo reclamar el IVA no deducido de los ejercicios fiscales anteriores?

Sí, pero solo es posible hacerlo de los últimos cuatro ejercicios fiscales. Para ello habrá que solicitar una rectificación de las declaraciones hechas con antelación.

¿Los suministros deben estar a nombre del autónomo?

Sí, este será un requisito para poder justificar esos gastos a los que se les podrá deducir el IVA, gracias a los recibos y facturas correspondientes.