¿Es obligatorio emitir una factura de anticipo?

Sí, no debes utilizar otros papeles que no sean una factura ordinaria para que puedas disponer de un documento válido en el caso de que quieras emitir una reclamación.

¿En la factura definitiva debo restar el anticipo?

Sí, en esa segunda factura que emitas debe reflejarse la cuota total a la que se resta el anticipo que el cliente ya te ha pagado.

¿Debo aplicar el IVA en una factura de anticipo?

Por supuesto, las facturas siempre deben llevar IVA, salvo que tu cliente esté exento por alguna razón. Lo que pueden no llevar es el IRPF en el caso de que tu cliente sea un particular.